MATHEMATIQUE.

On a longtemps défini les mathématiques comme la science des quantités, les, subdivisant en plusieurs branches, suivant la nature des grandeurs soumises au calcul. On y distinguait principalement l'arithmétique, la géométrie, la mécanique, la physique mathématique, le calcul des probabilités. Ces diverses branches avaient un lien commun, l'algèbre, qu'on aurait pu définir comme le calcul des opérations. C'est assez dire combien les nomenclatures sont imprécises et surtout sujettes à variation dans le temps. La définition traditionnelle qu'en 1691 Jacques Ozanam (1640-1718) donne des mathématiques (« science qui enseigne tout ce qui se peut mesurer ou compter ») revient à considérer le noyau central des sciences mathématiques comme constitué par l'arithmétique et par la géométrie. Elle consiste donc à dire que ces sciences ont leurs racines dans les Eléments d'Euclide (III siècle avant notre ère), qui traitent justement de ces deux disciplines fondamentales.

Jusqu'au XVIIIe siècle, on divise les mathématiques en mathématiques pures, ne faisant appel qu'au raisonnement, et en mathématiques mixtes, «lesquelles, écrit encore Ozanam, examinent les propriétés de la quantité attachée à des sujets sensibles et qui font de plus appel à l'expérimentation. Ces mathématiques mixtes seraient, pour la plupart, à rattacher aux sciences physico-mathématiques.
On distingue aussi les mathématiques théoriques des mathématiques pratiques, comme l'art du calcul ou l'arpentage.

Idées nouvelles.

Vers 1800, on préfère parler non pas de mathématiques mixtes, mais de mathématiques appliquées, distinguant mieux ainsi, dans certaines sciences, la partie expérimentale de la partie plus purement abstraite, ressortissant seule aux règles mathématiques.
La distinction entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées est d'ailleurs fort imprécise. C'est ainsi que la géométrie, en tant que science de l'espace physique, qui fut d'abord l'essentiel des mathématiques pures, en est plutôt considérée à l'heure actuelle comme une application. Inversement, le calcul des probabilités fut longtemps rangé dans les mathématiques appliquées. Aujourd'hui, singulièrement depuis son axiomatisation en 1933 par Andreï N. Kolmogorov (1903-1987), il appartient aux mathématiques pures, la statistique restant du domaine des applications.

Au XIXe siècle, la définition traditionnelle des mathématiques est battue en brèche bien avant de disparaître. En 1854, George Boole (1815-1864) écrit qu'il n'est pas de leur essence de s'occuper des idées de nombre et de quantité. Aussi fait-il entrer la logique dans le domaine des mathématiques, conception acceptée de nos jours par plusieurs.
En 1874, Gaston Darboux (1842-1917) précise avec netteté un des impératifs de la méthode mathématique : « On devrait s'astreindre à une double loi : bien définir les hypothèses sur lesquelles on s'appuie, ne donner que celles qui sont nécessaires à l'exactitude du théorème à établir.

Son ami Jules Hoüel (1823-1886) écrit en 1878 au début de son cours de calcul infinitésimal : « La Science abstraite... doit constater d'abord si les hypothèses sont compatibles entre elles, et ensuite si elles ne sont pas réductibles à un moindre nombre. Une science fondée sur des hypothèses satisfaisant à ces conditions est absolument vraie au point de vue rationnel et abstrait, quand même elle ne se trouverait pas conforme aux faits réels qu'elle était destinée à représenter [...]. Cette partie logique des Sciences exactes constitue ce qu'on appelle les Mathématiques proprement dites [...]. Les Mathématiques ne se bornent pas à la combinaison des lois fournies par l'observation du monde réel; elles devancent souvent l'observation et, entraînées par l'analogie et par le besoin de généraliser, elles prennent pour objet l'étude des hypothèses, dont la réalité n'a pas encore offert d'application.